Бесселевы функции с любым индексом

Содержание

1.Функция Бесселя……………………………………………………………..2

2.Бесселевы функции с хоть каким индексом ……………………………………2

3. Бесселевы функции первого рода………………………………………….5

4. Бесселевы функции второго рода………………………………………….7

5.Общее решение уравнения Бесселя………………………………………..7

6. Формулы приведения для бесселевых функций………………………….9

7. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 11

8. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 13

9. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 17

10.Характеристики……………………………………………………………………..21

11. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для огромных Бесселевы функции с любым индексом значений аргумента ...................................................................................... 22

Перечень литературы ...................................................................................... 30


Функции Бесселя

Функции Бесселя в арифметике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где α — случайное действительное число, называемое порядком. Более нередко применяемые функции Бесселя — функции целых порядков.Хотя α, и − α порождают однообразные уравнения, обычно договариваются о том, чтоб им соответствовали различные функции (это делается, к примеру Бесселевы функции с любым индексом, для того, чтоб функция Бесселя была гладкой по α).

Функции Бесселя в первый раз были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Внедрения: Уравнение Бесселя появляется во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Потому функции Бесселя используются при Бесселевы функции с любым индексом решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., к примеру:

Функции Бесселя используются и в решении других задач, к примеру, при обработке сигналов.

Определения: Так как приведённое уравнение является уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независящих решения Бесселевы функции с любым индексом. Но зависимо от событий выбираются различные определения этих решений.

Бесселевы функции с хоть каким индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтоб разъяснить происхождение бесселевых функций, разглядим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) воспримет последующий вид:

. (2)

Поставим задачку: отыскать все такие решения уравнения Бесселевы функции с любым индексом, которые могут быть представлены в виде произведения 3-х функций, любая из которых зависит только от 1-го аргумента, другими словами отыскать все решения вида:

,

где , , предполагаются два раза безпрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не Бесселевы функции с любым индексом находится в зависимости от , правая не находится в зависимости от , ; как следует, общая величина этих выражений есть некая неизменная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не находится в зависимости от , правая не находится в зависимости от ; как следует, общая величина этих выражений есть некая неизменная . Отсюда:

, ;

, .

Таким макаром, , , должны Бесселевы функции с любым индексом удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

, ,

из которых 2-ое и третье есть простые линейные уравнения с неизменными коэффициентами, а 1-ое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Назад, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). По правде, подставляя в левую часть (2) и деля потом на , получим Бесселевы функции с любым индексом:

.

Таким макаром, вид всех 3-х решений уравнения (2), которые являются произведением 3-х функций, любая из которых находится в зависимости от 1-го аргумента, есть , где , , – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

1-ое из уравнений (3) в случае , именуется уравнением Бесселя. Полагая в данном случае , обозначая независимую переменную буковкой (заместо ), а неведомую функцию Бесселевы функции с любым индексом – буковкой (заместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет огромную роль в приложениях арифметики. Функции, ему удовлетворяющие, именуются бесселевыми, либо цилиндрическими, функциями.


beseda-kak-metod-polucheniya-psihologicheskoj-informacii-doklad.html
beseda-na-temu-o-lichnosti-i-prityazaniyah.html
beseda-o-mebeli-i-ne-tolko-vstrecha-g-balcera-i-i-lanskogo-evolyuciya-mebeli.html